Het huis aan de overkant van de straat staat te koop voor 369.000 euro. Met de 10 procent kosten koper erbij (maal 1,1) is dat omgerekend (maal 2,2) bijna 9 ton guldens. Duur, zal de conclusie van menigeen zijn. De peultjes uit Peru zijn te koop voor 75 eurocent in de supermarkt om de hoek. Best goedkoop voor een luxe groentesoort die van ver wordt ingevoerd. Zo drukken we de waarde van goederen en diensten uit in geld. Economen leren ons dat geld meer dan een rekeneenheid is. Doordat het ook een algemeen geaccepteerd ruilmiddel en tevens spaarmiddel is, kunnen vraag en aanbod elkaar op efficiënte wijze vinden, nu en in de toekomst. Geld en economie zijn dus onlosmakelijk met elkaar verbonden.
Kwantitatieve analyses spelen daarin een belangrijke rol. De financiële wereld leunt sterk op de beschikbare kennis van wiskunde, statistiek en kansrekening. Denk maar aan het bepalen van een netto contante waarde, dus een bedrag in de toekomst terugrekenen naar een bedrag nu met de daarvoor geldende rente. De obligatiehandel baseert zich grotendeels op dit soort wiskundige berekeningen. De prijs van opties wordt in de financiële markten al sinds jaar en dag berekend met de formule van Black en Scholes. Deze formule gebruikt als parameters informatie over de optie zelf, over de koers van het onderliggende aandeel en de rente en geeft dus als uitkomst de optieprijs. En banken gebruiken modellen die het risico schatten dat een potentiële klant failliet gaat en de lening niet terug kan betalen. Deze informatie bepaalt mede de rente die de bank vraagt op die lening.
Maar het zijn niet alleen de professionals in de financiële wereld die zich met wiskunde bezighouden. Geld brengt eigenlijk de wiskundige in ons allen naar boven. Dat laat zich goed illustreren met een wellicht herkenbaar voorbeeld van het gebruik van geld als betaalmiddel in haar oudste vorm: bankbiljetten en munten. Alledaagse contante betalingen blijken namelijk niets anders te zijn dan het oplossen van een wiskundig optimalisatieprobleem.
Stel u moet voor uw boodschappen 18,05 betalen en uw portemonnee bevat 1 briefje van 50, 2 briefjes van 10, een muntje van 5 cent. Met welke biljetten en munten gaat u het bedrag betalen? Er zijn drie realistische combinaties denkbaar:
A) 1 briefje van 50 (50 euro)
B) 2 briefjes van 10 (20 euro)
C) 2 briefjes van 10, 1 muntje van 5 cent (20,05)
Bij betaling A krijgt u 30 euro en flink wat muntjes terug als wisselgeld. Betaling B van 20 euro is dan wel dichter in de buurt van het bedrag, maar levert u 1,95 aan wisselgeld op, ofwel minstens 5 muntjes. Door 5 cent bij te passen bij betaling C is het wisselgeld nog maar 1 muntstuk van 2 euro. De drie betalingen vergelijkend is betaling C het meest efficiënt omdat daarmee het minst aantal biljetten en munten over de toonbank gaan: 4 in totaal ten opzichte van 8 en 7 bij betaling A en B. De optimale oplossing voor het betalingsprobleem is dan C. En om hiertoe te komen is het nodig uit te rekenen hoeveel munten en biljetten er in totaal nodig zijn voor elk van de mogelijke combinaties en daarvan vervolgens het minimum bepalen. Dit algoritme past u mogelijk onbewust vaak toe.
Voor 2002 werden betalingen in guldens gedaan. De coupurereeks van de gulden was anders dan die van de euro. Wie denkt er niet met weemoed terug aan het mooie geeltje (briefje van 25 gulden) en kwartje? Destijds is door de daartoe bevoegde Europese instanties een keuze gemaakt om de 1-2-5 reeks toe te passen op de euro. Is dit dan een efficiëntere reeks dan de 1-2,5-5 reeks van de guldens? Bestaande studies naar wat theoretisch de optimale samenstelling van een coupurereeks is, bieden hier geen uitkomst. Dit is namelijk een complex optimalisatieprobleem met meerdere criteria. Het ligt voor de hand dat een coupurereeks ervoor moet zorgen dat ieder bedrag met weinig bankbiljetten en munten betaald kan worden. Maar het aantal coupures mag ook weer niet te groot zijn. Met een coupurereeks die voor ieder mogelijk betaalbedrag een verschillende munt of biljet kent zou theoretisch voor iedere betaling maar 1 biljet of munt nodig zijn. Praktisch is dat niet haalbaar, en zeker niet efficiënt. Ook moeten de coupures makkelijk rekenen. Daarmee vallen biljetten beginnend met 1, 3 en 9 ook af, al kan het een efficiënte optie zijn. Deze criteria zijn niet alleen van belang voor het gebruiksgemak van consumenten. Aan de productie, distributie, verwerking en opslag van bankbiljetten en munten zijn immers kosten verbonden voor de centrale bank, overheid, banken en winkeliers.
De 1-2-5 reeks blijkt een geaccepteerd compromis dat ook wereldwijd het meest toegepast wordt. Het is dus logisch dat de keuze daarop is gevallen voor de euro. Maar de guldenreeks voldoet even goed aan genoemde criteria. Om antwoord te geven op de vraag welke nu efficiënter is, zijn in 2002 wiskundige berekeningen uitgevoerd met beide reeksen. Daarvoor is gebruik gemaakt van een bestaand algoritme om efficiënte betalingen te bepalen voor alle mogelijke bedragen met een willekeurige coupurereeks. Dat zijn efficiënte betalingen zoals betaling C in het voorbeeld hierboven, waarbij het aantal benodigde biljetten en munten voor betaling en wisselgeld samen minimaal is. Dit algoritme toepassend op zowel de euro als de gulden voor alle bedragen tussen 0,05 en 100 euro (220,35 gulden), blijken er gemiddeld evenveel munten en biljetten over de toonbank te gaan. De euro is dus net zo efficiënt als de gulden, theoretisch dan. Dat is overigens wel te danken aan de afronding op 5 eurocent die niet lang na de introductie van de euro in 2002 is ingevoerd, anders was de balans in het voordeel van de gulden uitgeslagen.
Econometristen willen dan vervolgens weten of mensen zich wel echt zo gedragen als de theorie, wat de onderliggende aanname is bij dit soort berekeningen. Voor die toets van theorie aan praktijk is in het najaar van 2002 een steekproef van contante betalingen aan de kassa geobserveerd. De klanten werden ook vriendelijk verzocht hun portemonnee-inhoud te laten zien. Voor elk van deze betalingen is daarna berekend wat de efficiënte betaling zou zijn geweest met een algoritme dat rekening houdt met de biljetten en munten die de klant in zijn of haar portemonnee had, zoals in het eerdere voorbeeld. Vervolgens is gekeken of de werkelijke betaling daartussen zat, dus of de betaling efficiënt was geweest. Dat bleek voor 61% van deze betalingen het geval. Op basis van deze steekproefresultaten werd geconcludeerd dat Nederlanders eerder een efficiënte betaling dan niet-efficiënte betaling doen. Dat wijst erop dat we inderdaad wiskundigen zijn als het om (contant) geld gaat!
Uit dit voorbeeld van contante betalingen en de keuze voor coupurereeksen blijkt dat rondom het onderwerp geld een veelheid aan wiskundige toepassingen bestaat waarmee iedereen gemerkt of ongemerkt in aanraking komt. Geld is dus economie, maar geld is ook wiskunde.
Tekst: Jeanine Kippers (1973)
Relevante boeken
Worden in de loop van 2020-2021 toegevoegd (3 september 2020)
Homepage Bètacanon
(zondag 8 juli 2007)
