Bètacanon (14) Symbolen en formules

Een slim stripfiguurtje, bij voorkeur een verstrooide professor in een witte labjas, heeft vaak een denkwolkje boven zijn hoofd dat vol staat met een onbegrijpelijke wirwar van wiskundige symbolen. Een wiskundige kan meestal meteen zien dat zo’n stripfiguurtje helemaal niets zinvols denkt, want het is meestal niet meer dan een willekeurig samenraapsel van symbolen die niets met elkaar te maken hebben. Maar de toon is gezet: wiskunde bestaat uit rare tekens die voor een normaal mens niet te begrijpen zijn. Waarom gebruiken wiskundigen deze symbolen?

De belangrijkste reden daarvoor is efficiëntie. Met een formule kun je iets heel kort zeggen, waar je in woorden hele zinnen of zelfs alinea’s voor nodig hebt. Als je een kwadratische vergelijking wil oplossen, schrijf je bijvoorbeeld op: x2 + 5x + 8 = 2. Stel je eens voor dat je al die symbolen niet hebt. Dan wordt de omschrijving zoiets als: ik zoek een getal en als ik dat getal kwadrateer, dan vijf keer het getal erbij optel en er nog eens acht eenheden bij optel, dan komt er twee uit. Je begrijpt dat het op die manier moeilijk is om het probleem helder te krijgen, laat staan het op te lossen. De eerste die een algebraïsche notatie verzon om vergelijkingen te kunnen opschrijven was Diophantus (ca. 200 – 284 na Chr.). Hij omschreef de problemen steeds in woorden, maar gebruikte tijdens het oplossen een symbool voor de variabele, een ander symbool voor het kwadraat van de variabele, enzovoort. Ongeveer 500 jaar eerder had bijvoorbeeld Euclides wel al letters gebruikt om punten en lijnen aan te duiden.

Er zijn verschillende soorten symbolen. Er zijn symbolen die een vaste betekenis hebben, zoals π, +, ∫ of 3. De betekenis van die symbolen is op een bepaald moment in de geschiedenis gewoon afgesproken: vanaf nu bedoelen we met π de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, + gebruiken we voor het optellen van getallen, ∫ voor een integraal en 3 staat voor het getal drie. Die symbolen waren meestal niet meteen standaardsymbolen voor iedereen, en voor sommige begrippen zijn nog steeds verschillende symbolen in omloop. Denk aan het Arabische symbool ٣ dat 3 betekent.

Het kiezen van een symbool voor een bepaald begrip getuigt vaak zelf al van een zeker inzicht. Je kunt het symbool π niet definiëren voor je doorhebt dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter voor alle cirkels hetzelfde is, en je gaat geen symbool voor een integraal verzinnen als je het concept niet kent.

Het oudst bekende gebruik van het symbool + voor optelling komt voor in een manuscript uit het eind van de vijftiende eeuw. Daarvóór werd vaak gewoon een woord gebruikt. Het +-teken is waarschijnlijk een afkorting voor het Latijnse ‘et’, dat ‘en’ betekent. De + was nog niet meteen het standaardsymbool: in het 16e eeuwse Italië bijvoorbeeld werd nog p of p gebruikt, als afkorting voor plus.

Het integraalteken is heel anders ontstaan. In 1696 discussieerden Gottfried Wilhelm Leibniz en Johann Bernoulli in hun brieven over de beste naam en het beste symbool voor de nieuwe theorie. Leibniz was voor de term calculus summatorius en voor een langgerekte S (de ∫) als symbool. Bernoulli wilde als term graag calculus integralis en de I als het integraalteken. Het werd een compromis: de term van Bernoulli en het symbool van Leibniz.

Er zijn ook symbolen die fysische grootheden voorstellen, bijvoorbeeld in de beroemde formule E = mc2. E staat voor een bepaalde hoeveelheid energie, m is de massa van een object en c is de lichtsnelheid, 2,99792458•108 m/s. Een formule van dit soort geeft niet gewoon een relatie weer die toevallig optreedt tussen een paar getalletjes. Nee, dit is een efficiënte manier om een natuurkundige bewering over de wereld op te schrijven: energie en massa kunnen in elkaar omgezet worden, en als er één mg aan massa omgezet wordt in energie, dan is de hoeveelheid energie die vrijkomt 0,001•c2 ≈ 8,99•1010 kJ. Een ander, meer wiskundig voorbeeld van zo’n formule is de veelvlakkenformule van Euler. Bekijk een willekeurig veelvlak, bijvoorbeeld een kubus of een piramide. Laat V het aantal hoekpunten voorstellen, E het aantal ribben en F het aantal zijvlakken. Dan geldt, voor welk veelvlak je ook kiest: V – E + F = 2. We kunnen de formule controleren voor de kubus. Die heeft acht hoekpunten, twaalf ribben en zes zijvlakken. En inderdaad: 8 – 12 + 6 = 2.

Zoals we al zagen in het geval van de kwadratische vergelijking, gebruiken we behalve voor vaste begrippen of voor fysische grootheden ook symbolen voor variabelen, zoals de x. Ook voor onbekende, maar vaste getallen worden letters gebruikt, al komen die gewoonlijk uit het begin van het alfabet. Denk weer aan een algemene kwadratische vergelijking: ax2 + bx + c = 0. We willen weten wat x is, in termen van a, b en c. Daarvoor bestaat een formule, de bekende abc-formule die vele scholieren hoofdbrekens bezorgt. Die formule vertelt ons: x = (-b ± √(b2 – 4ac))/2a. Het bijzondere aan zo’n formule is dat hij een algemene oplossing geeft, je kunt hem voor alle kwadratische vergelijkingen gebruiken, wat a, b en c ook zijn.

Dat de constantes die in de vergelijking voorkomen a, b en c heten is natuurlijk volstrekt willekeurig, en dat de variabele x heet ook. Het is een conventie dat variabelen uit het eind van het alfabet komen en vaste, maar onbekende getallen uit het begin. In principe kun je a, b en c net zo goed p, q en r noemen, en x zou ook best z mogen heten.

Je hoeft niet te snappen waarom de abc-formule of Eulers veelvlakkenformule geldt om hem te kunnen gebruiken. Gebruik van formules heeft dus nog een ander voordeel: het kan bepaalde delen van wiskundig redeneren mechanisch maken. Als je een computer een kwadratische vergelijking wil laten oplossen, moet je hem het probleem op zo’n manier vertellen dat de computer in staat is om te herkennen wat het probleem is en te beslissen welk algoritme hij kan gebruiken om het op te lossen. Een computer kan een formule veel makkelijker herkennen en bewerken dan een omschrijving à la Diophantus.

De vertaalslag van een concreet probleem naar een vergelijking of formule is vaak al een groot deel van de oplossing: als je eenmaal een wiskundige formulering hebt gevonden, staat een groot standaardarsenaal aan wiskundige methodes tot je beschikking. Je hebt je probleem in een standaardvorm geschreven, zodat je ziet dat het heel erg lijkt op een probleem waar veel andere mensen ook al over hebben nagedacht.

Een andere erg belangrijke eigenschap van formules is dat ze een goed gereedschap zijn om iets heel precies te kunnen zeggen. Een groot voordeel van formules is namelijk dat ze eenduidig zijn: ze zijn niet zo dubbelzinnig als natuurlijke taal. Zodra de symbolen gedefinieerd zijn, is het helemaal duidelijk wat een formule betekent. Daardoor zijn formules een goed communicatiemiddel, zowel tussen wetenschappers onderling als tussen wetenschappers en hun computers. Als je iets in een formule uitdrukt, schep je duidelijkheid in wat je al weet en dan kun je over steeds ingewikkeldere concepten nadenken.

Ook het wiskundig redeneren zelf kan in formules worden opgeschreven, met behulp van de logische symbolen. ‘Bewering P of bewering Q is waar’ kun je bijvoorbeeld schrijven als ‘PvQ’. De logische regels kun je gebruiken om mechanisch beweringen uit andere beweringen af te leiden. Weer geldt: je hoeft niet te snappen waarom de regels van de logica gelden om ze toe te kunnen passen.

Op die manier is het in principe mogelijk om een computer een wiskundig bewijs te laten controleren. Deze proof checkers beginnen langzaam door te dringen in de wiskunde. Wiskundige bewijzen worden echter bijna nooit helemaal geformaliseerd opgeschreven, want dan worden ze veel te lang en onoverzichtelijk. Mensen kunnen makkelijker grote denksprongen maken dan een computer, dus in een wiskundig bewijs staan vaak alleen de meest cruciale stappen. De missende stapjes zijn door ervaring zo vanzelfsprekend geworden, dat het niet nodig is ze steeds opnieuw op te schrijven.

Kortom: formules en symbolen zijn een efficiënt gereedschap in de wetenschap, ze stellen ons in staat om heel precies te kunnen uitdrukken wat we willen zeggen. Ze zijn eenduidig en duidelijk, ze helpen helderheid te scheppen in onze vragen en ideeën en ze zorgen ervoor dat we bepaalde denkprocessen kunnen mechaniseren. Zonder formules zou de wetenschap er een stuk ingewikkelder uitzien. De denkwolkjes van verstrooide professoren zouden in ieder geval veel groter moeten zijn!

Tekst: Jeanine Deams (1980)

Relevante boeken
Worden in de loop van 2020-2021 toegevoegd (3 september 2020)

Homepage Bètacanon
(zaterdag 8 april 2007)